Geometri Datar

[ Dosen Pengajar : Drs. H. Fansuri, M.Pd ]

[ Oleh : Dwi Pujiyanto (A1E310011), Novika Dyah Pratiwi   (A1E310013), Norma Yanti (A1E310016), Mardalena (A1E310202), Noor Halisah (A1E310213), Supiyanto (A1E310218), Sahlina ( A1E310232), Disna Ariyanti (A1E310236), Arie Hidayat (A1E310243), Fauzi Mubarak (A1E309286) ]

Geometri datar merupakan studi tentang titik, garis, sudut, dan bangun-bangun geometri yang terletak pada sebuah bidang datar. Berbagai mekanisme peralatan dalam kehidupan nyata banyak diciptakan berdasarkan prinsip-prinsip geometri datar. Misalnya susunan segitiga yng kaku digunakan pada konstruksi bangunan dan jembatan. Sehingga tidak dapat dipungkiri, gometri berperan besar dalam membatu manusia memecahkanpermasalahan yang dihadapi.

A.   TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT

1. Pengertian Titik, Garis, Bidang, dan Sudut

Tiga unsur dasar yang membangun geometri adalah titik, garis, dan bidang. Titik, garis, dan bidang termasuk istilah yang tidak didefinisikan (undefinedterm) karena secara intuitif dianggap sebagai sesuatu yang mudah dijelaskan.

Titik dapat dianggap sebagai bola sangat kecil dengan jari-jari nol. Walaupun titik tidak memiliki ukuran, titik dapat ditentukan letaknya. Titik direpresentasikan sebagai noktah/dot (“.”) dan dinamai dengan huruf kapital. Biji-bijian merupakan model fisik dari titik. Namun demikian betapapun kecilnya biji-bijian tetap bukanlah titik karena masih mempunyai ukuran.

Garis hanya memiliki panjang, memanjang ke kedua arah, tetapi tidak mempunyai lebar maupun tinggi. Garis dapat juga dibayangkan sebagai jejak titik yang bergerak. Dalam pembahasan ini yang dimaksud garis adalah garis lurus. Jeruji sepeda merupakan model fisik untuk garis. Garis dilambangkan dengan dua titik yang dilaluinya, atau dengan huruf non kapital. Garis pada gambar di bawah dapat dilambangkan dengan garis l , garis PQ, atau .

Bidang dapat dibayangkan sebagai jejak sebuah garis yang digeser menyamping. Bidang memanjang dan melebar tak terbatas, tetapi tidak memiliki ketebalan. Yang dimaksud bidang dalam hal ini adalah bidang datar. Model fisik dari bidang adalah lembaran kertas.

Dengan menggunakan undefinedterm titik, garis, dan bidang, semua istilah-istilah geometri dapat didefinisikan. Berikut ini beberapa contoh definisi yang dapat iturunkan dengan istilah titik, garis, dan bidang.

a.    Kolinear:

Tiga titik dikatakan kolinear (segaris) jika semua titik tersebut terletak pada garis yang sama. Pada gambar II-0, titik E, P, G segaris, sedangkan titik A, B dan T tak segaris (non kolinear).

b.    Koplanar (sebidang):

Dua garis dikatakan koplanar jika keduanya terletak pada bidang yang sama. Pada gambar II-0, garis AB dan BC koplanar, sedang garis AB dan FG non koplanar (tak sebidang)

c.    Ruas garis (Line Segment atau Segment):

Ruas garis AB (dilambangkan dengan  ) merupakan himpunan titik A, B dan semua titik di antara A dan B yang kolinear dengan garis melalui kedua titik tersebut. Atau dapat juga didefinisikan Ruas garis  merupakan bagian dari AByang memuat titik A, B, dan semua titik di antara keduanya. Titik A dan B dalam hal ini disebut sebagai ujung-ujung ruas garis.

d.    Sinar Garis (Ray):

Sinar AB (ditulis ) merupakan bagian dari  yang terdiri atas titik A beserta semua titik pada  yang terletak sepihak dengan B terhadap titik A. Selanjutnya titik A ini dinamakan sebagai titik pangkal. Harap dicatat bahwa  dan  merupakan sinar yang berbeda.

2. Panjang ruas garis AB

Titik-titik pada sebuah garis dapat dipasangkan satu-satu dengan bilangan real. Bilangan real yang berkorespondensi dengan suatu titik dinamakan koordinat dari titik tersebut. Jarak antara titik P dan Q, (ditulis PQ atau panjang PQ), merupakan harga mutlak dari selisih koordinat P dan Q. Jarak kedua titik ini, disebut juga sebagai panjang ruas garis PQ.

Pada gambar di bawah,  titik P berada pada koordinat 1, dan titik Q pada koordinat 4,8. Jarak antara titik P dan Q, atau panjang ruas garis PQ adalah |4,8 – 1| = 3,8. Karena satuan yang digunakan adalah cm, maka dikatakan panjang ruas garis PQ = 3,8 cm.

3.  Penjumlahan ruas garis

Jika terdapat tiga titik yang segaris, dapat dikatakan bahwa satu titik berada di antara dua titik yang lain.

B.   TITIK TENGAH RUAS GARIS (Midpoint), GARIS BAGI (Bisector), GARIS BAGI TEGAK LURUS (Perpendicular Bisector)

1.  Aktivitas Membagi Ruas Garis

Titik tengah suatu ruas garis adalah titik pada garis yang membagi ruas garis menjadi dua bagian yang sama panjang.

Pembagi dua ruas garis tidak hanya berupa titik, namun dapat berupa sinar, garis, ruas garis, atau bidang yang memotong ruas garis di titik tengahnya. Jika  membagi dua  dan  tegaklurus  , maka dikatakan  merupakan garis bagi tegak lurus . Tidak seperti ruas garis yang dapat dibagi dua sama panjang, suatu garis tidak dapat dibagi dua sama panjang. Hal ini dikarenakan garis memanjang tak terbatas ke dua arah.

2.  Melukis garis bagi tegak lurus.

a.    Pada ruas garis AB, lukis dua busur berjari-jari sama, masing masing berpusat di A dan B sehingga keduanya berpotongan di titik C dan D(Gambar.II-10 a dan Gambar.II-10 b).

b.    Tarik garis melalui titik C dan D. Diperoleh garis CD tegak lurus AB (Gambar. Gambar.II-10 c)

C.   SUDUT (Angle)

       1.    Definisi Sudut

Sudut diartikan sebagai bentuk atau bangun yang terjadi dari dua sinar yang bersekutu pada pangkalnya. Kedua sinar garis ini dinamakan sebagai kaki-kaki sudut, sedangkan titik pangkal kedua sinar disebut sebagai titik sudut (vertex).

       2.    Penamaan sudut

Sudut dapat dilambangkan dengan “ ”. Sebagai contoh sudut pada Gambar. II-11 di atas dapat dituliskan dengan A, BAC, CAB, atau 2. Penamaan sudut dengan tiga huruf menggunakan ketentuan titik sudutnya berada di tengah, sedangkan dua titik yang lain merupakan titik-titik pada kedua kaki sudut.

Untuk titik Q dan R, kita dapat menuliskan dengan Q dan R saja. Pada masing-masing titik tersebut hanya terdapat satu sudut. Namun jika pada sebuah titik terdapat lebih dari satu sudut seperti pada titik P, maka akan menjadi sulit untuk mengidentifikasi mana yang dimaksudkan dengan P. Apakah P = UPS, P = UPR, atau P = SPQ? Oleh karena itu, penulisan sudut untuk titik P harus jelas, menggunakan notasi tiga huruf.

      3.    Daerah sudut

Sudut membagi bidang menjadi dua bagian, yaitu interior (daerah sudut) dan eksterior.

Ambil masing-masing satu titik di kaki sudut yang bukan titik pangkal. Maka seluruh ruas garis yang menghubungkan kedua titik ini terletak pada daerah sudut (interior).

   

     4.    Macam-macam Sudut, Hubungan antar Sudut dan Hubungan Garis dengan Sudut

a.  Macam-macam Sudut Menurut Besarnya

o Sudut lancip (acute angle) adalah sudut yang besarnya antara 0° dan 90°.

o Sudut siku-siku (right angle) adalah sudut yang besarnya 90°. Pada sudut siku-siku, biasanya diberi tanda siku-siku kecil pada sudutnya.

o Sudut tumpul (obtuse angle) adalah sudut yang besarnya antara 90° dan 180°.

b.  Hubungan antara sudut-sudut

Dua sudut yang kongruen dan kesamaan dua sudut

Dua sudut ABC dan PQR dikatakan kongruen jika besar sudutnya sama.

Jika ditulis dalam bentuk notasi:

ABC PQR jika m ABC = m PQR

Sudut yang berdekatan/berdampingan (adjacent angle)

Sudut yang berdekatan adalah dua sudut yang memiliki titik sudut yang sama,

sebuah kaki sudut yang sama, tetapi tidak memiliki titik-titik interior yang

sama.

Sudut-sudut berpenyiku (complementary angle)

Dua sudut dikatakan berpenyiku jika jumlah besar kedua sudut 90. Satu sudut merupakan penyiku (komplemen) bagi sudut yang lain.

Sudut-sudut berpelurus (suplementary angles)

Dua sudut dikatakan berpelurus jika jumlah besar kedua sudut 180^o. Satu sudut merupakan pelurus (suplemen) bagi sudut yang lain. Sudut-sudut berpelurus dan berpenyiku berlaku untuk sudut yang berdekatan maupun yang tidak berdekatan.

Dua sudut bertolak belakang

Sudut bertolak belakang terbentuk ketika dua garis saling berpotongan dan membentuk empat sudut. Setiap dua sudut yang tidak berdampingan dari keempat sudut disebut sudut bertolak belakang.

Pasangan sudut bertolak belakang 1 dan 3, 2 dan 4.

Pasangan sudut berdekatan

1 dan 2, 2 dan 3, 3 dan 4, 1 dan 4

Perhatikan bahwa           m +m 2 = 180^o

m +m 4 = 180^o

akibatnya                          m 2 = m 4

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa m 1 = m 3. Sehingga dapat disimpulkan:

Dua sudut yang bertolak belakang sama besar.

D.   BANGUN DATAR GEOMETRI

1.    SEGITIGA

Segitiga bukan merupakan sebuah benda konkrit. Segitiga adalah sebuah ide yang disebut dengan model dari bangun datar. Secara konkrit kita tidak pernah menemukan segitiga, namun segitiga hanya kita dapatkan dalam benda yang modelnya segitiga. Jadi Segitiga merupakan model bangun datar yang dibatasi oleh tiga ruas garis.

Segitiga dapat diberi nama dengan menggunakan huruf capital berurutan dengan cara mengurutkan searah putaran jarum jam atau sebaliknya.

Setiap pertemuan dua sisi menghasilkan sudut.

a.    Segitiga menurut panjang sisinya

·      Segitiga sembarang

Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang.

·      Segitiga sama kaki

Segitiga samakaki adalah segitiga yang memiliki dengan dua sisi sama panjang.

Sehingga

·      Segitiga sama sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.

 

Sehingga ketiga sudutnya sama besar yaitu 60⁰

b.    Segitiga menurut besar sudutnya

·      Segitiga lancip

Segitiga lancip adalah segitiga yang semua sudutnya lancip. Sudut lancip adalah sudut yang besarnya di antara 0° dan 90°.

·      Segitiga tumpul

Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul. Sudut tumpul adalah sudut diantara 90° dan 180°.

·      Segitiga siku-siku 

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku.

c.    Segitiga menurut besar sudut dan panjang sisinya

	LANCIP	TUMPUL	SIKU-SIKU
SEMBARANG	Lancip sembarang	Tumpul sembarang	Siku-siku sembarang
SAMA KAKI	Lancip sama kaki	Tumpul sama kaki	Siku-siku sama sisi
SAMA SISI	Lancip sama sisi

Sifat utama dari segitiga

2.    SEGIEMPAT

Beberapa segi empat memiliki sifat-sifat khusus. Sebagai contoh, bentuk rangka atap suatu piramida seperti pada gambar terbentuk susunan segi empat dengan panjang sisi yang sama. Bangun tersebut dapat diperoleh dari dua segitiga sama kaki yang dicerminkan sepanjang alasnya. Bangun ini merupakan salah satu dari berbagai macam jenis segi empat.

Segiempat merupakan model bangun datar yang dibatasi oleh empat ruas garis. Segiempat dapat diberi nama dengan menggunakan huruf capital berurutan dengan cara mengurutkan searah putaran jarum jam atau sebaliknya.

Penamaan segiempat ABCD yang benar

Setiap pertemuan dua sisi menghasilkan sudut. Jika dua titik sudut yang tidak terletak pada satu sisi dihubungkan dengan sebuah ruas garis, maka ruas garis itu disebut diagonal.

Bangun-bangun datar yang disebut sebagai persegi, persegi panjang, layang-layang, jajar genjang, belah ketupat, dan trapesium adalah bangun-bangun datar segiempat.

Jenis-jenis segiempat antara lain:

1.    Persegi panjang

Persegi panjang adalah segiempat yang setiap sudutnya siku-siku dan sisi-sisi yang berhadapan sama panjang.

Keempat sudutnya siku-siku dan sisi-sisi yang berhadapan sama panjang

·      Sifat 1: Diagonal-diagonal pada persegi panjang adalah sama panjang.

Pada gambar: AC = BD

·      Sifat 2 : diagonal-diagonal pada persegi panjang saling membagi dua sama panjang. Pada gambar: AO = OC = DO = BO

2.    Persegi

Persegi adalah segiempat yang tiap sudutnya siku-siku dan tiap sisinya sama panjang.

AB = BC = CD = AD

·      Sifat 1 : Diagonal-diagonal pada persegi sama panjang. AC = BD

·      Sifat 2 : Diagonal-diagonal pada persegi saling membagi sama panjang. AO = OC = DO = BO

·      Sifat 3 : Diagonal-diagonal pada persegi saling berpotongan tegak lurus. Diagonal BD dan AC saling berpotongan tegak lurus sehingga ^O

·      Sifat 4 : Diagonal-diagonal pada persegi membagi dua sudut-sudut persegi menjadi dua bagian sama besar yaitu 45^o. 45^O, karena diagonal AC dan BD membagi dua sudut-sudutnya sama besar.  

3.    Jajar genjang

Jajar genjang adalah segiempat yang sisi-sisi berhadapannya sejajar.

AB // DC dan AD // BC, tanda // berarti sejajar.

·      Sifat 1 : Pada jajar genjang sisi-sisi yang berhadapan sama panjang.

·      Sifat 2 : Pada jajar genjang diagonal-diagonalnya saling berpotongan dan membagi dua sama panjang. DO = BO dan AO = OC.

·      Sifat 3 : Sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang sama besar. .

·      Sifat 4 : Sudut-sudut yang berdekatan pada jajar genjang berjumlah 180⁰.

4.    Belah ketupat

Belah ketupat adalah segiempat yang semua sisinya sama panjang atau jajar genjang yang semua sisinya sama panjang.

·      Sifat 1 : Diagonal-diagonalnya saling berpotongan tegak lurus

·      Sifat 2 : Diagonal-diagonal pada belah ketupat saling membagi dua sama panjang. DO = BO dan AO = OC.

·      Sifat 3 : Diagonal-diagonal pada belah ketupat membagi sudut-sudut menjadi dua bagian sama besar. karena diagonal AC dan BD membagi dua sudut-sudutnya sama besar.

5.    Trapesium

Trapesium adalah segiempat yang memiliki sepasang sisi sejajar.

Trapesium ABCD di atas AB//DC.

·      Sifat: dua garis sejajar dalam trapezium menyebabkan sudut berdekatan diantara dua garis sejajar tersebut selalu berjumlah 180^o.

^O ; ^O

6.    Layang-layang

Layang-layang adalah segiempat yang sepasang sisi berdekatannya sama panjang.

AD = CD dan AB=BC

·      Sifat 1 : Diagonal terpanjang membagi dua sudutnya menjadi dua bagian sama besar

·      Sifat 2 : Sudut-sudut yang berhadapan yang dilalui diagonal terpendek sama besar.

·      Sifat 3 : Diagonal-diagonal pada laying-layang saling berpotongan tegak lurus.

3.    SEGILIMA

Segilima adalah bangun datar yang dibatasi oleh lima ruas garis.

·      Sifat 1 : Jumlah besar sudut dalam pada segilima adalah 540^o.

·      Sifat 2 : segilima yang semua sisinya sama disebut segilima beraturan pada segilima beraturan besar tisp sudutnya 108°.

4.    LINGKARAN

Lingkaran adalah kumpulan titik sedemikian hingga ruas garis yang ditentukan oleh tiap dari kumpulan itu dengan suatu titik tertentu adalah kongruen.

Ÿ  Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran

Ÿ  Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang di tentukan oleh sembarang titik di lingkaran itu dengan titik porosnya.

Gambar di atas merupakan suatu lingkaran. O adalah suatu pusat lingkaran, OP, OQ, dan OR adalah jari-jari lingkaran biasa dilambangkan dengan r (radius) dan PQ dilambangkan dengan d. Panjang panjang garis tengah adalah dua kali panjang jari-jari. Jadi d = 2r sedangkan garis lingkaran QR, RP, PQ disebut busur lingkaran, panjang garis lingkaran, lengkung dari P ke titik P lagi disebut keliling lingkaran.

DAFTAR PUSTAKA

Budhayanti Clara Ika Sari, dkk. 2009. Pemecahan Masalah Matematika 3 SKS. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Departemen Pendidikan Nasional.

Wiyoto, Jakim, dan Untung TS,. 2009. Kapita Selekta Pembelajaran Geometri Datar Kelas VII di SMP. Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan Departemen Pendidikan Nasional.